Spectral properties of a type of integro-differential stiff problems

We consider an integro-differential stiff problem, which can be used as a model for the vibrations of a body with hnear viscoelasticity at large times First, the problem is introduced in the framework of the theory of semigroups in Hubert spaces and then, an asymptotic expansion ofihe solution is obtained Fwally, it is shown the double convergence, when e —• 0 + , ofthe eigenvalues of the problem to the eigenvalues of two associated problems These problems are related to the behaviour ofthe stiff problem on two different domains Résumé — On considère un problème raide intégro-différentiel qui mode lise les vibrations à* un corps viscoélastique à mémoire longue On introduit le problème dans le cadre de la théorie des semigroupes de contraction et on obtient un développement asymptotique de la solution On étudie le spectre du geneiateur et on démontre une double convergence, lorsque E —• 0 , des valews propres du problème vers les valeurs propres de deux problèmes associes qui rendent compte du comportement du problème raide dans deux domaines différents 0. INTRODUCTION Let Qu Q2 be two connectée bounded domains of M" with smooth boundaries, located as shown m figure 1. We also consider the " total domain "